论超图的超网络结构及演化机制

互推小编 2023-08-02

文|煮酒

图|煮酒

复杂网络，作为刻画复杂系统的有力工具，它的拓扑结构是建立在一般图的基础上的，把各个单元看作是一个节点，把它们之间的相互作用看作是一个连接的构造网络，并对它的拓扑特性进行分析。为了分析不同的网络的结构特点，学者们建立了一个模型来模拟网络的成长过程，以便更好的理解网络的演变过程。

由于网路规模的不断扩张，结点的种类逐渐增多，结点间的连结关系也愈来愈复杂，有时要研究网路客体的异质与层次性，因而产生了超出一般网路的网路系统问题。

超网络侧重于网络的梳理，适用于多层网络模型的构建。它着眼于实际网络中多层、多层、多维网络的复杂性，为分析大型网络中各个部件的相互关系提供了一种新的思路，并在交通、生物、社会等领域得到了广泛的应用。

本文的目的在于对当前超网络的发展状况进行全面的综述，对当前超网络的一些基本概念和看法进行了回顾，对其进行了系统的归纳，并提出了一些有待于进一步探讨的问题。现有的研究结果显示，超网络的特点与复杂性网络的性质有一些相似性，但也有本质上的不同，因此，如何更好地发掘其本质属性还有待进一步的探讨。但我们认为，以超图的形式描述复杂系统的拓扑结构，对于把握真正的系统的本质特征具有重要意义。

超级网路及其相关观念

超级网络是指由网络构成的网络，这个概念最初是由 Denning的 Nagurney提出的，将规模巨大、连接复杂的网络，或网络中嵌套网络的大型网络称为超网络。

他们在处理物流、资金和信息等方面的问题时，把“比现有网络更高但更好”的网络，用超级网络来描述。其特点是网络节点本身可以是一个复杂网络，不具有同质性，而具有多层、多级、多维、多属性等特性。

在超图基础上， Berge首先给出了超图的基本概念和性质。 Estrada和 Rodrfguez。 Vel~ zquez认为，任何能用超图来表达的网络都叫做超级网络。超图的定义如下：设 V= Vl,2,）是一个有限集合，如果α= e (i=1、2、 m)，并且 uEi= V， E={E1,E2E)，那么，二进制关系 H=(E）是超图，其中的单元叫做超图的结点， E的单元叫做超图的超边。常用的表达形式有矩阵格式（包含邻接矩阵、关联矩阵、拉普拉斯矩阵）以及图示格式。在超边中仅有两个结点时，采用直线连接；在一个或更多的结点中，用一个简单的封闭曲线来表达，其中包括了全部的结点，超图的概念还包括了链，路，环；局域超图，子超图，对偶超图，均匀超图， iE, J超图等。

以超图为基础，定义了超网络。假定日期={(E)为有限超图}, G为从向日的映射，那么，对任何给定的t0, c (t)= E (t）为有限超图， N 为至时间 t超图已经改变的总数。若 fⅣ,t0为任意的处理，则在一定的时刻 t上，称为 c (t)：是一个超网络，用 N (t)=；(t)1, M (t)={E (t),。1 iraE [Ⅳ（t)= N （无限或有限），其中 E （Ⅳ（t)）代表超网络在时间 t处的平均结点数目。对任意给定的有限超图（E)，定义 c (t)=(E)。可见，超网络是超图的一种推广。复合网络的基础是图形，而超网络的下层是超图。与超图理论着重于静态结构的探讨相比，超网络更注重动态的演变。复合网络可以看作是超网络的一种特殊情况。

1.结构测定指数

在超级网络中，一个节点通过一个超边互相连接，从而被定义为一个超边缘的两个节点的最小超边数量。最小的路径和距离的测量准则与节点的拓扑距离相关，其中任何一个节点间的最大距离被称作超网络的直径。

另外，超边至超边之间的距离是由两个超边之间的平均长度确定的。为了防止图中出现不连通的分支，使距离发散，学者们提出了一个网络效率的概念。

本文提出了超结构的概念，即超结构 S=（E）是一个由结点集、边集 E、超边集日构成的三元组。

2.择优机制在新的边界入口处如何选取旧的结点

探讨与实际情况更为接近的连接机理，并对其在网络中的作用进行了分析。点超度线性择优文献中的模型都认为，在实际网络中，超边连接是一种线性择优的机制，新超边选择节点的概率依赖于节点的超度，如新的电影通常会挑选有较多表演经验的明星来增加票房；在科研协作网络中，新出版的论文往往会引用大量的重要文献；在 WWW中新网站上，一般都是与网络上的著名网站进行连结。但是，三种模式的动态成长机制却有细微的差异。线性择优机制认为节点获得新超边的概率正比于该节点的点超度值．

在本文中， dH （i）表示了含有结点 i的超边条数，本文利用主方程式法分析得到了超度分布为幂次分布： P （dH）。在此基础上，利用平均场理论得到了节点的超度分布： P (dH)=(+1)，而幂指数则与每个超边包含的新节点数目 mz相关。本文利用 Poisson方法得到了稳定的平均超度分布： P (dH）≈-5 (+1)，并将文献的模型结合在一起。

基于这种特性，学者们提出了一种不同的生长模式，即根据每个超边的节点数目（超边基数）是一个固定的常数，把超网划分成均匀超网和随机超网。

基于 WS的群集系数结点 i和 D结点是由超边直接连接起来的，其中 D {个结点之间的实际超边数目是 Dt (D 1)/2，因此，结点 i的群集系数是：

社团调查是网路研究中的一个重要环节，将网路分成许多连通性极强的分支，其中一个团体内的结点关系密切，而社团间的联系却很少。基于距离的社团结构划分根据节点的相似度，可以测量节点间的距离即：

这种算法通常用于社会网络，当结点之间的距离低于预定的临界值时，就会被视为两个结点之间的连接。如果将文档中的词及其联系用超图表示，基于超边相似度建立矩阵，进而采用模块化方法可以发现社团超边相似度的计算如下：

利用超图熵建立的社团组织结构检测图熵可以对社团划分的质量进行评价，若其熵较低，则代表社团内部联系密切，而社团内部联系较少。基于该思想，将与 V相关联的超边在社团中的概率表示为：

这里u是一个非空真子集， t工厂是超图中的一个超边， dH （v）为点的超度，={工厂（f）,f2 (u) fd (u)(v)表示点 V相关的超边集，由此定义了点熵与超图熵。

在实际情况下，超边基数通常不是固定的，例如，在科学协作超网络中，每篇论文的作者数目不同，所以假设超边基数服从某一分布而非固定常数，更具实际意义。等概率产生的随机超网络模型文献采用等概率产生随机整数方法得到超边基数。分析结果显示，这种超网络中的节点超度分布也遵循幂律分布。

判定概率产生的随机超网络模型，规定了一个超边基数的概率，并按照一定的概率产生一个随机数。在现有的文献中，新的、旧的节点个数 i、 J是由概率 P和 qj决定的，点的超度分布也是服从幂的分布。局部事件模型中，仅考虑新节点和老节点之间的边界，择优机制是以全局为基础的，但微观事件也会对网络的进化产生影响。

超级网的应用范围

不同领域的学者通过超网络来描述和分析现实问题，从而为超网的实际应用提供了一个很好的方法。

1.Web2。0的社交标记体系

标签网的基础单位有用户、资源、标签三要素，利用超边构建这个三元结构的内部关系，一个具有完整信息和本质结构的随机超图模型。扩充定义了超度分布、节点相似性等拓扑特征，并给出了标签系统中最大连接子图的算法。

2.科研协作

在此基础上，建立了以超图结构为基础的科研协作超网络模型，对引文网络的统计性质进行了讨论，建立了引文超网络模型，并通过 APS数据库进行了验证。

3.扩散知识网络

扩散知识网络是指从事知识的制造与传播的组织和活动。超网络与超图在知识表达和加工方面有着举足轻重的作用。与此对应，在超级网路中，资讯的传递速度比复杂网路快。

4.超链路的预测与进化学习

与链路预测相比，本文的创新点是：超网络模型中的网络结构更加复杂，节点属性具有同质性、异质性、信息多样性等特点。其本质是通过对网络的下一次超边界的预测，从而判断网络的动态演变趋势，并对网络进行干预，从而对系统的功能做出相应的调整。

5.生物网路

利用超图理论建立的超图模型，并提出了点度、超边度分布的非定量分析。通过对蛋白质相互作用中的聚类因子的物理意义的探讨，可以观察到它们对复合物的影响。超图理论的概念和性质的不断拓展与完善，对超网络的综合发展与深入研究都是有益的。

结论

超网络已经成为一个备受瞩目的跨学科研究领域，受到众多学者的重视。本文对超图超网络的最新研究进行了系统的回顾，并对其进行了总结。目前，关于超网络的研究已经有了一些结果，但对于超网络的整体理论体系，如何由传统的网络研究框架过渡到超网络的整体理论，还尚无突破，许多概念和术语尚无统一的定义，用超网络描述复杂的系统，会不会出现与复杂网络不一样的特点？怎样才能精确地构造出一个精确的模型？网络的拓扑对系统的稳定性有什么影响？超网路的成长与扩散有何特征？当前有许多问题需要深入研究。

本文的研究方向是：建立和描述超网路的完备指数。虽然有些超网路的指标可以从复杂网路中继承，但是超级网路并非是一个简单的扩充，概念也不能轻易的被移植。另外，为了描述复杂系统的高维、复杂的关系，必须建立一套合理、完整的、精确的、数学定义，这对探索复杂系统的结构特性有很大的帮助。

从实际系统的角度，把大量的复杂数据问题抽象成超网络，给出了超网络的构造与分析方法，对于探讨不同领域、不同问题的真实超网络的结构特征更具现实意义。从宏观视角研究系统的整体规律，描述其丰富的整体行为，深入探讨不同超网络内部的自组织演化机制及其内在动态特性，并深入探讨不同的数据采集与分析。

然而，目前的进化模式已经大大简化了节点与超边之间的关系与特性，而超边包含方向、超边基数的动态变化等问题都是未来亟待解决的问题。如何根据实际演化特点，抽象出具有不同演化规则的理论模型再现真实网络特征，并给出整体的严格定义和研究框架，必然涉及到不断更新数学物理方法，以便分析和求解问题。如何根据实际演化特点，抽象出具有不同演化规则的理论模型再现真实网络特征，并给出整体的严谨定义和研究框架，必然涉及到不断更新数学物理方法，以便分析和求解问题。

当前，大多数的研究都集中在进化模型上，而模型本身就是虚拟的，非常抽象，尽管有一定的指导作用，但其结果往往与实际情况相差甚远。所以，重视数据的挖掘和分析，不但可以增强模型的可信度，而且对于指导现实系统也有很大的理论价值。

我们认为，超图中的高次张量可以为超网的描述提供一种新的方法，如：超网络的拓扑结构如何影响动态过程，以及动态过程与超网络结构的协同进化，目前尚处于初级阶段，还有很大的发展空间。

参考文献：

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[2] Communication in complex networks[J]. De la Cruz Cabrera Omar;Jin Jiafeng;Noschese Silvia;Reichel Lothar.Applied Numerical Mathematics,2022
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