关于力学模型跷跷板的教学探索

互推小编 2023-04-26

摘要：跷跷板可以视为静力学中的杠杆模型，也可视为定轴转动的一维刚体模型。在刚体动力学研究的基础上，将力学模型跷跷板视为两端自由的均匀对称两跨Euler梁，计算了这类Euler梁的频率方程和位移函数，其频率方程和铰支-自由梁的频率方程完全相同，但是由于梁的跨数的增加，位移函数自变量的区间有所变化。位移函数是关于梁的中点反对称的，且在相差一个常数因子的条件下，位移函数是唯一的。

关键词：两端自由位移函数力学模型均匀对称两跨梁应用力学跷跷板频率方程

在日常生活中，跷跷板是一种常见的儿童玩具。初中物理中研究跷跷板的静力平衡问题，适用杆杆原理。本文专门探讨和跷跷板相关的动力学问题。

经过大学力学课程学习，学生通常会将跷跷板默认为可绕定轴转动的一维刚体。实际上，在振动力学中，可将跷跷板简化为两端自由的均匀对称两跨Euler梁结构，也即我们构造了一种新的弹性体模型。本文主要从刚体模型和Euler梁模型两个层面对跷跷板进行动力学研究。

文献[1]和文献[2]分别研究了两端自由的Euler梁离散模型和连续模型微振动的定性性质，文献[3]研究了两端自由的Euler梁离散模型的振动反问题。因此力学模型跷跷板不仅具有教学研究价值，也同样具有科学研究价值，包括振动的定性性质领域和振动的反问题领域。

1、将跷跷板视为定轴转动的刚体模型

在经典力学教材[4]中，将跷跷板视为绕过中点的轴线转动的一维刚体，设刚体质量为m，长度为2l（为了和下文保持一致）。由定积分运算可知，此刚体的转动惯量为

其中外力F主要包括坐在跷跷板两端的两个人的重力，以及两人轮流用脚蹬地时地面的反作用力等，轴上的阻力矩和空气阻力均忽略不计。定轴转动的刚体有转动定律：

假设t1时刻刚体的角参量为θ1，角速度为ω1，而t2时刻刚体的角参量为θ2，角速度为ω2，则有刚体的角动量定理（1）式和刚体定轴转动的动能定理（2）式成立：

特例：当两个等体重的人分别关于中点对称地坐在跷跷板的两端，且两个人的双脚都已经离地，则作用于刚体的合外力矩为零。将M=0无论带入公式（2）还是公式（3），都可以得到ω1=ω2，即角速度ω是常数c，也即公式（1）中刚体的角速度β=0。

2、将跷跷板视为两端自由的均匀对称两跨Euler梁

2.1Euler梁力学模型的提出

设有一等截面的均匀Euler梁，长度为2l，边界条件是两端自由，梁的中点有一个铰支座，从而构成一个两跨梁。将坐标原点设在梁的中点处，则自变量，其横向振动的模态方程是：

其中r(x)=E(x)I(x)是抗弯刚度，E(x)是杨氏模量，I(x)是截面的惯性矩，ρ(x)是密度函数。在本文中r(x)和ρ(x)均看成常数。W(x)是位移振型，λ=ω2A为该问题的特征值，ω是圆频率，横截面积A是常数，x是轴向坐标。

对于两端自由的均匀两跨Euler梁，有下列边界条件：[5]

而抗弯刚度为零是没有意义的，因此边界条件简化为

2.2两端自由的均匀对称两跨Euler梁频率方程和位移函数计算

Euler梁的无阻尼自由振动满足方程（4），其解为[6]

其中，。在原点处有一铰支座，因此，W(0)=0,W″(0)=0。计算得C1=C3=0。

由边界条件可以计算出，两端自由的均匀对称两跨Euler梁的频率方程为

(8）式的结论与文献[6]中铰支-自由梁的频率方程是完全相同的，这是一个超越方程，按照由小到大的顺序，其前四个非平凡解的数值解见文献[6]。前四个非平凡解的近似解为而两端自由的均匀对称两跨Euler梁的位移函数计算结果为

文献[7]探讨了两端自由的功能梯度梁的一类振动反问题，文中计算得到了两端自由的功能梯度梁的多项式型位移函数，其相对于过梁的中点且垂直于横轴的直线是对称的。结合文献[7]和本文的讨论，可以得出结论：两端自由的对称两跨Euler梁的位移函数W(x)具有对称和反对称两种模态，且在相差一个常数因子的意义下是唯一的。以上结论与振动力学理论[5]是相符的。

另外，有一种常见的生活用具——扁担，常用竹子或木头制成，也可视为两端自由的两跨Euler梁，但是由于扁担的特殊形状，它不属于均匀梁，因此不能像上文一样得到无阻尼自由振动方程的解析解。顺便指出，将扁担视为悬臂梁是不合理的。

3、结语

对于生活中常见的跷跷板，本文建立Euler梁模型，将研究对象从振动力学中常见的单跨梁拓展到多跨梁，其计算结果不同于通常的单跨梁结构。

通过本文的研究，学生可以消除思维定式，从弹性体的层面来重新认识跷跷板这一力学模型。从力学思想上来说，弹性体比刚体更加接近物理本源。本文的探讨对于学生力学创新意识的培养是大有裨益的。[8]

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