高中数学：猫爪定理之五

互推小编 2024-03-24

本篇文章接上篇，继续研究猫爪定理之三中的，1949年的经典题目。

1、如图，设D、E、F分别在BC、CA、AB上且ED=EC,FD=FB,

求证：D关于EF对称点D'在△ABC外接圆上。

（《中等数学》2016年增刊1 高中数学联赛模拟题6）

思路分析：

依题意可得F为△BDD'的外心，

E为△CDD'的外心，

从而倒角即得∠BD'C=∠A,从而得证。

证明：

依题意FB=FD=FD',

从而F为△BDD'的外心，

类似的，E为△CDD'的外心，

故∠BD'D=∠0.5BFD=90°-∠ABC,

同理∠CD'D=90°-∠ACB,

则∠BD'C=∠BD'D+∠CD'D=90°-∠ABC+90°-∠ACB=∠A,

故BD'AC共圆。

即D’点在△ABC外接圆上.

注：不难发现此题才是第三篇1949年题的本质推广。在第四篇中提到自然的思路是将此题结论由等腰三角形情形推广到任意三角形中，但是如果直接作出平行四边形，发现对称点不在外接圆上。如果仔细审视原题的证明发现证明中关键用到的是外心和倒角。也就是说只要保证外心即可，从而只要满足ED=EC,FD=FB即可。而本题的最终证明也和原题的证明如出一辙。

所以我们在推广问题的时候不能邯郸学步，不能只是简单的形式上的类比，更关键的是抓住题目证明中的本质特征进行推广或者加深才能探骊得珠、马到成功。

下面考虑在那个题目中，还能得到哪些结论呢？因为AEFD’共圆，可以考虑当D运动时，此圆还有什么特点，可以发现，此圆还经过某个定点，而此定点即为ABC外心，从而得到

2、过等腰△ABC底边BC上一点D引DE//CA交AB于E；引DF//BA交AC于F.

O为△ABC外心.

求证：A,E,O,F四点共圆.

思路分析：只需证明∠AEO=∠CFO,

显然△AOB≌△COA,而E,F为对应点，从而成立。

证明：由OA=OB=OC及AB=AC得

△AOB≌△COA(SSS),

由平行得AE/EB=CF/FA,

从而E,F为全等三角形的对应点，

故∠AEO=∠CFO,则A,E,O,F四点共圆.

此结论能否推广到任意三角形呢？答案是肯定的！

3、已知：如图，设D、E、F分别在BC、CA、AB上且ED=EC,FD=FB,O为△ABC外心，

求证：AEOF共圆；( 2001年第 27 届俄罗斯数学奥林匹克)

思路分析1：

条件ED=EC,FD=FB很难用，

能得到BEcosB+CFcosC=0.5BC。

四点共圆基本思路是倒角，

即证∠AEO=∠CFO,

条件外心O也不好用，

一个自然的思路是作出AB、AC中点K,L，

需证tan∠AEO=tan∠CFO,

分析计算即得.

证明1:

设△ABC边角为a,b,c,A,B,C,OA=R,

AB、AC中点为K,L,则∠KAO=90°-∠C,

同理∠LAO=90°-∠B,

由ED=EC,FD=FB得

BEcosB+CFcosC=0.5a,则

AEOF共圆

<=>∠AEO=∠CFO

<=>tan∠AEO=tan∠CFO

<=>OK/KE=OL/LF,

<=>OK*LF=OL*KE,

<=>RcosC*(CF-0.5b)=RcosB*(0.5c-BE),

<=>BEcosB+CFcosC=0.5(c*cosB+b*cosC)

<=>0.5a=0.5a,

从而结论成立。

思路分析2：

四点共圆另外一个思路是用三弦定理(即托勒密定理逆定理)，

类似1分析证明即得。

证明2:

用三弦定理(即托勒密定理逆定理)

类似证法1，

AEOF共圆

<=>OAsinA=AEsin∠OAC+AFsin∠OAB

<=>RsinA=AEcosB+AFcosC

<=>0.5a=c*cosB-BEcosB+b*cosC-CFcosC

<=>0.5a=0.5a,

显然成立，从而得证。

思路分析3：

联想到上一题，可以考虑将此题转化为上题，在此基础上解决。

倒角即得。

证明3:作出D关于EF对称点D',

则EB=ED',

由上题知D'BCA,D'EFA共圆,

从而有

∠AOD'=2∠ABD'=∠AED',

则D'EOA共圆,

即EOFA共圆。

注：

1) 本题难度中等，图形简洁，结论优美，不是很好证明。

2) 本题难点在于如何利用若ED=EB,FD=FC,代数上不难得到BEcosB+CFcosC=0.5a,共圆的证明要么倒角要么三弦定理，上述证法1,2偏向于代数运算，最终殊途同归，都归结到上述等式上。证法3将其转化为上题，利用上题结论轻松解决。这也反映出本题本质可能来源于上题，是在研究此结构过程中得到的结论。

3）当然本题还能得到其他结论，应该还有其他的证明思路。

4、如图，E、F在AB、AC上，△AEF外接圆O’与△ABC外接圆交于D’,O为△ABC外心。

证明：D’关于EF对称点D在BC上的充要条件为圆O’过O；

（2015年中国国家队选拔考试）

思路分析：

本题结构还是上面那个1949年题目的结构，但是还是有些区别的。本题的侧重点是点D’,

D’关于EF对称点D在BC上等价于什么呢？探索后发现最好作出EF与BC交点H,则D’关于EF对称点D在BC上等价于∠D'HE=∠EHB，这样就发现D’为完全四边形密克点，以下倒角即得。

证明：设EF交BC于H，则D'为四条直线AB,AC,BC,EF构成的完全四边形密克点，

从而D'ECH共圆。

若圆O'过O，

则∠D'HC=∠D'EA=∠AOD'=2∠ACD'=2∠EHD'

故∠D'HE=∠EHB,则D'关于EF对称点在BC上。

反之，若D'关于EF对称点在BC上，则∠D'HE=∠EHB，

则∠D'EA=∠D'HC=2∠EHD'=2∠ACD'=∠AOD'，

故圆O'过O。

注：不难发现，本题依然来源于上述经典结构。不过他改变了视角，重点描述了D’,算是上述问题的逆命题。所以本题最自然的思路是转化为上题结构，但是发现D在BC条件很难转化，条件点D’为两圆交点也不好使用。用上题结构要证明充要条件不太容易。进而抓住本结构的本质——猫爪定理（即密克定理）。利用密克点的性质，倒角即可轻松证明。

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