如何培养数学自学能力

讲座：如何培养数学自学能力

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导语

数学能力并非连续发展，只有几个稳态，不真正达到目标状态，考试结束后会迅速退化；学习数学，必须以智力跃迁为目标，而不是知识的记忆，套路的积累。

活动｜图灵编程第四期免费沙龙

主题｜如何培养数学自学能力

时间｜5月21日 20:00

嘉宾｜陈诗峰、林瀚

记录｜图灵编程

好玩的数学获授权转载

陈诗峰

1999年毕业于中山大学计算机系，现就职于暨南大学大数据研究院担任首席架构师，兼任广东省初等数学学会数学文化委员会主任，一直热心于在中小学生中推广数学哲学、文化和科普等。目前主要研究方向是超大规模图上的并行算法。

林瀚 博士

图灵编程总教练

中山大学数据科学与计算机学院教师

中山大学ACM国际大学生程序设计竞赛教练，曾带队多次获得ACM国际大学生程序设计竞赛亚洲区金牌

曾担任NOIP评委，在信息学奥赛领域里有很丰富的教学经验。

在2018年ACM国际大学生程序设计竞赛全球总决赛获得全球第14名。

辅导学生获 2018年NOIP提高组一等奖 5 人，二等奖4人；普及组一等奖18人、二等奖21人。

以下是讲座内容

主持人：图灵编程欢迎来参加《如何培养数学自学能力》讲座的各位朋友们，大家晚上好！今天晚上很荣幸请到资深青少年教育专家陈诗峰老师来给大家详细探讨关于青少年数学自学能力培养等相关话题。

主持人：主讲人陈诗峰老师1999年毕业于中山大学计算机系，现就职于暨南大学大数据研究院担任首席架构师，兼任广东省初等数学学会数学文化委员会主任，一直热心于在中小学生中推广数学哲学、文化和科普等。目前主要研究方向是超大规模图上的并行算法。陈诗峰老师在青少年教育，特别是数学和编程方面特别有心得。

主持人：除此之外，陈老师的家庭教育非常成功。他的女儿君君在圈内是知名的天才少女，上次讲座的时候获得丘成桐中学科学奖，前不久又有数学论文被欧洲组合数学大会收录。

下面有请陈诗峰老师分享。

陈诗峰老师：各位家长好，非常高兴，今天晚上能够跟大家一起来分享一下关于怎么自学数学这个问题，我想这是初中以上的家长很关心的一个问题，因为现在学生的学习压力也很大，能够自主控制的时间相对比较少，怎样能够让小孩子同时能够应付好课内的功课，或者比较好的成绩又同时对他下一阶段的长远的学习，培养一个自学的能力，我们知道在后面大学甚至前一点高中这个数学的自学能力是至关重要的。

陈诗峰老师：在这里我先想传达一种我的基本的观点，就是一个人的数学的能力，它的发展并不是连续性，而是阶段性的，一个台阶到另外一个台阶跳跃式的，但是我们表面看来它是一个连续性的发展，因为我们可能通过很多课内的练习、习题，这样子去训练它，让它不停的考试，觉得他学了又学了，那么其实从数学的能力来说他是一个层次突然跃升到另外一个层次，比如说从算术突然跃升到代数，从代数突然跃升到微积分，这种整个数学思想是体系性的变化的。

陈诗峰老师：如果你不是通过一个良好的自我理解、自我学习而产生这种自发性的跃迁的话，这个数学的能力很容易出现一种现象：好像是在那个台阶，但是一旦你不训练不刷题不考试那么很快就会退回来的这样一种现象，这种现象我们就称为数学能力退化现象，这种现象在成年人的身上特别明显，也就是说大学毕业之后好多成年人他的数学能力是迅速退化的。原因是为什么呢？我们可以解释为用进废退，但其实根本性的原因，他们这些数学能力的获得,特别是高级的数学知识的获得 ，它不是通过自学而获得的，不是通过自己的学习努力理解去获得的，而是通过一些外在的知识的植入，做一些模仿性的训练，技巧性的训练，让你感觉你获得了这个知识和理解了这个知识。

陈诗峰老师：其实一旦不使用它又忘记了，它就好像一个条件反射那样子，不训练就没有了，而不是成为一个真正的神经连接，静态连接存在于你的大脑里面。

陈诗峰老师：所以，我们给予小孩一个学习的目标，我们是希望他能够真正形成这个能力的层次性的跃迁而不会倒退的，而这种以层次跃迁为目标的学习，肯定就不仅仅是依赖于知识的灌输、记忆、习题的积累这样一种方法，而是要培养他更重要的就是自我学习和自我去参悟的这种数学概念这种能力。

陈诗峰老师：这是一种相对来说是一种高级的数学能力，比如说抽象思考的能力，对这个概念内涵的把握能力，那么这种能力的获得，这种认知习惯的获得，必须要依赖于试错，反复的试错，也就是说你必须在错误中学习，你开始以一种有偏差的理解去把握的概念出现了错误，这个错误通过一些实践发现他错误之后，才恍然大悟，再重新纠正到正确的轨道，这叫作试错，而我们目前好多学习是老师把所有东西都消化过，然后把那些多余的东西、粗粮全部去掉，让你要学生吃那个反刍过的营养，这种学习方式当然是进度很快，很少有偏差，但是他是没有办法获得从旧知识跃迁到新知识的这个思维的能力。

陈诗峰老师：然后就没办法看得清楚错误与正确的边界，这个知识的内涵他就勾勒不出整个轮廓来，那么这样深刻掌握一个知识，我们肯定是要随时能够勾勒出它的边界，比如说我们要理解什么叫数学上的连续，一条曲线怎么才是连续的，那么必须要很准确地说出什么是不连续，随便可以构造无限个反例，无限种不连续的状态出来，这叫知道了、掌握了它的边界，掌握它的内涵，就是正确与不正确之间的边界，就是要准确地理解这个概念。我们知道凡是越过正确与错误边界，那肯定会经常出现试错的情况，那么这种试错就是以时间来换深度。

陈诗峰老师：我们来再看一下，事实上在一个学生的学习里面它有很多种类型的学习，有课内的学习，有为考试的学习，还有竞赛的学习对不对？在各种学习里面，它根据驱动力来分类，它分为很多种，有一种是好奇心驱动的学习，这是人类最原始最本能的一个学习方式的动力，那么更普遍的当年纪大了之后，它就会有一些利益驱动的学习，比如说考试成绩的驱动、升学的驱动，工作需要你去学习这样的驱动，还有一种就是责任心和荣誉感驱动的学习，那么当然什么是责任，这个责任就有不同层次的理解。

陈诗峰老师：可能小的时候理解我对父母有责任，父母花了很多钱让我去上学是吧？到后面可能就理解为这个工作要做好就要学习好，你对这个学科有了认识之后，比如说我要为人类的认知、为人类的智力的拓展承担责任，这是一种更崇高的责任感，这个责任感是分层次的，层次高低是随着你的学习和理解的深入程度不同而不同。还有一种情况，如果你仅仅是用利益驱动来进行学习的话，很容易造成一种不学习的状态，比如说你到了毕业之后，若干年里你完全是不需要再学习了，你就是靠过往的人脉、资源、位置就可以应付你的工作和生活，而且活得很好，那么就会出现不学习的情况。

陈诗峰老师：但是有另外一种类型的人,他就会终身学习，他把学习这种东西内化了，而他把学习本身的责任感和荣誉感内化了，他作为一种个人的追求而去学习，所以他就保持一种终身学习的能力，当然我们都希望自己能成为一个终身学习的人，那么怎么才能够成为终身学习的人，起码是要能够在学校阶段培养出自学能力，你才有能力去终身学习。

陈诗峰老师：为了达到一个终身学习的状态，我们就需要从小训练自己的自学能力。自学的前提，当然就是有闲暇的时间，当前学生有一个很大的问题，我也是在最开始的时候已经说了，当前学生功课，作业很多，还有课后补习的现象非常普遍，能够自由掌握的时间很少。当然这个问题是可以解决的，我后面会展开说，其实不存在我根本没有自学时间的问题，我多次跟同学们强调过，时间不存在有没有的问题，而存在你怎么安排时间的优先顺序问题，时间表怎么安排的问题。

陈诗峰老师：另外第二点要实现自学要培养一种做事情持之以恒的性格，这个是相辅相成的，你越坚持着自学这个事情，你这个性格就越稳定，这个性格怎么起步去学习，这个就需要家长的鼓励，和自我的目标设定；第三点就是需要具备时间管理的能力，我们在自学的话，它是比较花时间的，你怎么平衡学校功课的时间，补习的时间和自学的时间，你必须要有很好的时间表，然后很好的执行这个时间表。

陈诗峰老师：当我们具备了自学的三个前提之后，我再来解释一下什么叫整个自学的完整过程。自学顾名思义，它就是自己制定学习的目标，因为我们学生平时都是老师帮你定目标，家长帮你定目标，然后你就去执行，就可以了对吧？你比如说我的目标就是中考，目标就是高考，但是作为自学来说，你首先要自己确立一个目标，比如说我要自学微积分，我是想搞懂某某某的问题，以问题为目标是最好的，当然最好不要用太功利的目的作为目标。

陈诗峰老师：第二点就是自己制定学习计划，平时是老师帮你定计划，每天安排的题目安排得满满的，那么自学就是在你定了目标之后，你就安排这个学习的计划，就是时间计划，什么时间学什么东西。第三点，就是要自己评价这个学习效果，那么我们知道非自学的话，课内自学她有考试去评价你的效果，那么自学怎么去评价教学效果呢？学习效果的评价的方法有很多，首先你可以去做本身自学有配套的习题，另外可以跟你自学的那个目标，这些水平比较高的人进行讨论，从讨论中你会比较准确的评价到自己的学习效果。

陈诗峰老师：另外我想提2点，就是说超前学习和自学的关系。我知道很多同学都在超前学习，这在某种程度上可以认为是自学。超前学习有很多是在老师的帮助下超前学习的，这个就不能够严格的意义上说是自学，只是说你找老师把你用更快的进度去教你学而已，如果是纯粹是自发的超前学习也可以算是某种意义上的自学，但是自学它不仅仅局限在课本的内容，我是不主张学生仅仅是自学教材的，那么课外的数学阅读，也是数学自学的一个非常重要的手段，也就是说你在横向也有很多很好的数学。

陈诗峰老师：经典的著作是值得自己去看的，我记得80年代90年代就有很多这一类的跟年纪平行的数学小册子，这些小册子都是可以自己去看的。奥数也可以作为自学的一部分内容，肯定不是全部，因为奥数顾名思义，就是奥林匹克数学，为竞争而设计的一些解题技巧需要比较高的解题技巧的题目和内容，这个数学知识还是初等的知识为主。数学如果你是要自学我觉得就要把目标放得更远一点，我们要学真正的，更抽象的更具有深刻内涵的数学，把数学的眼光放远一点。

陈诗峰老师：自学的手段有很多种，我们每个人的性格不一样，就可能有多种方法，我这里推荐几种自学的手段。我认为最好的方法还是看真正数学家写的数学著作，包括任何知识点，其实都是有数学家写它的经典著作的，特别是有不同历史阶段的，现在互联网非常发达，都可以找到，书也可以买到，电子版也可以找到，比如说代数也有很多经典的代数学家写的作品，几何也有很多经典的几何学家写的作品，这些可以从中选择一些经典的来读，这个比读教材要好，另外如果是比较方便上网的话，可以看一些著名大学的慕课，比如说耶鲁大学、哈佛大学。

陈诗峰老师：如果英文不太好可以看中文的，中国也有慕课课程，像北京大学、台北大学，都有这种很好的数学慕课，而且有很多是中学生都可以看明白的，看不明白其实也没关系了，可以先留着问题继续看，另外我是强烈建议大家利用互联网手段在自学的过程中，可以对一些概念进行深度的拓展，就可以上去查那个维基百科，维基百科的词条里面，它的描述是比较全面的。

网友讨论，这个涉及很多，比如国外有Quora，国内百度有很多贴吧，这个都可以的。

陈诗峰老师：自学的重点首要是要学通，不要以记忆和模仿的方式去自学。

因为自学的特点，就是可以自己控制进度，有一个自学的误区就是盲目的追求速度，其实正是因为自学，所以我们要把速度可以放慢点，一旦遇到一些理解上有障碍的概念，切勿囫囵吞枣，以做课后习题来骗自己说我已经弄懂了这个概念，如果概念没想通的话要把它停下来多停留点时间，允许自己卡一段时间，然后等待这个顿悟。

陈诗峰老师：所以自学我们是要把理解概念放在第1位，因为数学其实最核心的东西就是抽象，而抽象最核心的就是合理的概念设计，如果将来大家在大学里面学到高等数学或者更抽象的数理逻辑的，这个东西是最为关键的，而这种能力如果在中学的窗口期不形成的话，到大学会非常吃力。

陈诗峰老师：既然是自学我们没有这个考试的压力的话，我们对学习的内容其实可以进行一些更抽象的哲学性的思考，比如说我们学到集合的时候，我们可以想世界上有没有一个包罗万有的集合，集合如果是很完整了，他一定就不完美了，类似这样的这样一种哲学思想能不能应用到这个数学的知识里面，在很多情况下其实是可以的。

陈诗峰老师：自学也有一种毛病，就是自学的人可能由于没有压力也会懒于做习题，但是我还是建议自学者，还是要做一定的有挑战性的习题来检验自己的学习成果。

陈诗峰老师：另外自学的话要愿意为某一些自己不懂的问题，花比较长的时间，我不知道大家有没有试过，小孩愿意花多长时间去思考一个问题而不看答案的啊，有一些是一个月。

陈诗峰老师：因为现在的学生有很多习惯，一旦思考一个问题10来分钟甚至半小时不懂的话，他肯定要急着看答案，其实这个思维习惯不是很好的，我们数学研究的能力就是要为一个问题能够思考长时间，如果能够思考一天，思考一周思考一个月，就算一个月不懂，我们也不管他、很多问题，这样长期的思考的话，它真正就会形成我前面说的有一天你会突然所有问题都懂的，然后就产生了层次上的变化。

陈诗峰老师：另外自学者也可以给布置给自己布置一些作业，所谓作业的意思就是要要求书写的，那么书写的时候要注意表达的规范性，要多看一些这些大家写的证明过程，比如说有本书叫做天作之证，它里面写了100个非常之巧妙经典的证明，那么这些证明的过程都是可以模仿和参考的，另外如果能够找到高水平的老师和朋友去就你自学内容进行讨论那是最好的。

陈诗峰老师：自学过程中会遇到很多困难，这个是必须要调整自己的心理状态去解决的，就有些数学问题，有些数学难题有些对遇到这个智商的瓶颈，它并不是说你用力就能够解决的。

陈诗峰老师：首先我们作为自学者或者家长，应该要保持一个佛系的心态，我们是以兴趣为向导，以锻炼他的意志力和这个对数学学科本身的责任感、兴趣为向导这样去自学，而不是说我一定要超越某某某、超越某某同学，然后超越哪个标准这样子学，这样就会很焦虑，甚至比校内学科焦虑。

陈诗峰老师：考试有成败、竞争有成败，但是学习数学是没有成败的，你认定了一个求知的方向之后只有顺利与否，要培养这样一种价值观，就说我学习前人、最聪明的人，他保留下来的那个智力的成果，那么只有快慢顺利的问题而不存在我学成功学失败了的问题，抱着一种只有顺利不讲成败、只讲是非、不讲利弊，这样一种心态，那么就会使你的对这个学科产生一种比较虔诚的态度，而其实这种自我的学习态度和自我的这个道德的定位对学习能力也是有很大影响的。

陈诗峰老师：另外自学过程中既然定了自学，我们要坚持独立思考，可以后面找人讨论，但是在研究问题开始和早期的时候要尽量的自己独立思考，不要过早的去看答案，找老师，想都不想就去讨论区找资料，这样是不好的，我们一定要摆脱有一个东西要别人教我才能够学得会这样一种依赖，这样一种路径的依赖，很多东西应该是我自己想办法去搞懂，这种想办法搞懂就是一种要坚持独立的去搞懂，最好是我一个人DIY就能搞懂的，不应该一碰到知识点，我马上就去打电话问人，这样是不好的。

陈诗峰老师：因为不逼一逼自己是没办法逼出自己这种每个人超越性的部分，就是人看似平常能力是有极限的，但是其实每个人都有超越自己目前能力的这种能力，这种超越性的能力，这种超越性能力是在困境之中坚持独立思考而激发出来的。

陈诗峰老师：我们对数学自学的目标设定之后，那么此时就要坚持一种日久生情的态度了，就是说开始的时候这个东西可能很难懂，自己去学很困难，虐你千百遍，虐多了就喜欢了。我看过很多自学的例子都是开始的时候真的是觉得有点甚至被吓坏的，但真正能够最后学通的人都是抱着一种日久能生情的心态，真的学多了就真的去学懂了，第1遍看不懂，看第2遍，第2遍看不懂，看第3遍，第3遍看不懂看第4遍，其实每一遍都在加深的，只是他有这种日久生情的这种信念。

陈诗峰老师：我来简单说一下一些建议的原则，就是说首先循序渐进是一个大原则，就不能够一下子跳的太高，离开了自己的发展区，就比如说你你刚学会了加减乘除，你去学那个抽象代数了，这样子就不符合数学历史知识发展的规律，就说这这些知识也是经过几百年很多聪明人一步步积累过来的你不可能一步登天。所以要循序渐进。

陈诗峰老师：第2点是英文教材优先，如果同样的知识点有英文教材，可以看英文的经典教材，如果英文不好可以看中英对照版，就是有英文版的教材也有中文版教材对照着看，如果实在觉得不适应也可以看翻译版的中文教材。总体来说经典的教材都是中国历史的选择都是英文版是最好的，所以尽量优先看英文的，而且英文里面那个证明的书写表达的规范性都会比较好。

陈诗峰老师：第3个原则就是不要浅尝辄止，自学应该是稳扎稳打每一步学通、学深，既然是自学，我们就没有人催着我们的进度，所以我们不能够为了我知道这个东西，比如说你学微积分，就被记住几个求导公式，记住几个固定积分的公式，学几个求极值的方法，那就满足了。其实就没有把实数理论准确的微积分的思想学通，那就失去了自学的意义。

陈诗峰老师：另外自学我们经常会遇到一些难题，这个很正常，因为自学的话我们没有人给提示，可能老师教认为普通的问题我们会觉得难，但是我们应该要有耐性去锻炼自己的思维的强度和韧性，坚持一段时间不看答案，慢慢的等这个思维去扩展去加深，其实答案很经常会出现，突然有一天会冒出来顿悟这种感觉的，这种对思维能力的跃迁是特别有用的。

陈诗峰老师：后面这是一些具体自学内容，这部分主要是针对中学生，有初等数论和组合数学、数理逻辑、图论这部分是比较适合中学生的，因为它这部分内容，比较概念比较直观，但是对数学修养的要求很高，所以是很适合中学生说第一列我是最推荐中学生自学的。

陈诗峰老师：第2列平面几何接着进阶可以有射影几何，后面射影几何的代数化，线性代数其中一方面，这部分也很重要，因为平面几何是整个逻辑推理训练的基础，是初中数学里面最重要一部分我认为，然后循着平面几何基础它可以继续延伸到射影几何，射影几何就有更高的观点，比那个欧氏空间的几何，因为它射影几何就是不关心距离的，这个几何只关心这个线点之间的关系，甚至他在隐身可以变成非欧几何。线性代数就是这个对线性和射影几何的一些代数，线性代数的其中一个几何解释，应该说就是射影几何，但线性代数是远远超过这个射影几何的范围。

陈诗峰老师：对于高中生而言，我就推荐他们自学一下集合论、微积分和复变函数，这三部分是高中数学里面没有讲的，高中讲了集合的概念，但是远远没有讲集合论的。集合论是指公理集合论，微积分好像高中也讲了一些很零散微积分的知识，但没有系统的去介绍微积分的基础理论，比如说实数理论，然后一些分析学的知识，如果自学的话可以更系统的学一下。复变函数理论其实也就是从实变延拓到复数，如果是分析学的话一般都是建立在复变函数基础上。

陈诗峰老师：另外除了上述这些课程，他有一些经典教材之外，还有一些经典的数学定理介绍的书籍也是可以用来作为辅助性的自学，比如说我前面说过的一本书叫做Proofs from the book的，中文叫天作之证，这里面介绍了好像100个，大家都认为是非常巧妙，不可能是人能够构造出来的证明，所以说from the book就是说来自圣经的，就是天意的，上天授予给人的这样一个证明，也可以看看这本书。当然也还有很多其他的，比如说100个经典的几何定理，这样一类书其实也是可以买回来自学的。

陈诗峰老师：最后一个问题，我就想说一下自学之后怎么去评价自己的学习效果，也就是说怎么输出的问题，首先如果自学我学不懂怎么办呢？学不懂就没有输出了。没有输出，其实自学不一定要输出一些你会解什么题目，能够提出好的问题，也是一种输出；能够提出猜想，提出好的问题，提出你的观点，也是一种输出。我们要必须要有这样一种观念，其实如果你能够提出好的问题，你就能够找到好的老师。

陈诗峰老师：在你提出了问题之后，你去找老师找资料、找朋友讨论，能够找到初步的答案之后，你可以写成小论文，把这个论文作为你自学的成果和输出。

陈诗峰老师：当然也可以去参加一些开放性的数学比赛，比如说数学论文比赛、数学模型比赛，这些都是要求写论文的，这个是比较能够检验你的综合的数学能力，可以检验你的自学成果。

陈诗峰老师：下面我先介绍一下我们夏令营的数学思维课，那我就简单说两句，本来我们图灵只有编程语言和算法的课程，这一次暑假夏令营，我们增加了数学思维课程，这是因为我们发现有好些学员，他们的编程学的进度比较慢，是因为他们的数学基础不是很好，不单只是数学知识的基础了，主要还是对数学思维的能力比较弱，数学思维它又建立在这个对整个数学知识的系统性认识的基础上，他就说他学了很多数学知识但是是分散的，他没有把这个数学知识的逻辑内在的脉络连通起来，所以我们想开这样一个课程把从小学到高中的所有数学知识串通起来。

陈诗峰老师：他们是怎么以一个数、从一个根,比如说从集合这个根，慢慢生成到自然数、负数、小数、有理数、无理数，然后生成了符号系统，怎么生成了方程，怎么通过方程去产生新的数，然后怎么又产生几何学和代数学的这个关联，从这样一个把整个知识脉络梳理一遍之后，提升它的数学理解力和这个认知能力，从而帮助这个学生提高这个课内学习的成绩，包括他们以后去上补习班，都会取得更好的效果，我们是这样一个思想和课程安排，所以我们分为初级班和中级班，初级班会针对小学高年级到初中低年级，中级班针对能力比较好的小学高年级到高中高一高二都可以。

因为我们会贯穿整个从零开始、从空集开始一直到微积分的初步，整个课程内容就大概这样安排，谢谢大家。

陈诗峰老师：非常感谢，我今天的分享比较粗略，有很多问题等一下再通过问答方式跟大家交流，现在我们请林瀚老师来谈谈他作为大学老师对大学生自学能力的一些要求和期望。

林瀚老师：我来讲一下大学，我作为大学老师，我刚刚看到有朋友在问，小学阶段怎么培养数学思维，我先从小学生讲起，其实刚刚诗峰讲这一部分内容，说培养数学自学能力，我感觉可能很多家长以为专门针对初中生、高中生、大学生来讲，其实我自己觉得并不是这样。

林瀚老师：对于小学生来讲，其实我觉得这个培养他的这种自学数学的习惯，其实我觉得同样是很重要的，尤其是这些优秀的学习习惯，我觉得从越低龄的时候越早培养越好，但是可能有些家长会觉得那小学生，他自己看书都看不懂，谈何培养数学的自学。其实并不是这样，对一个小孩子其实他的这种好奇心是天然的，我们培养他的数学的这个自学未必就是说他自己去找一本数学书来看，还要找一本英文的数学书肯定不太可能，其实我们要引导他善于去发现问题，善于去提出问题我觉得这种对于小学生实际上是可以培养的，比如说我们说小孩子他很喜欢玩。

林瀚老师：比如随便举个例子，比如说玩猜拳，那你这个时候你就可以开始引导她，问他说这个猜拳我们是不是可以有一种什么样的策略，我们跟别人玩是不是有一种什么策略来使得我这个赢的概率能够超过百，赢的可能他是听不懂概率，赢的可能性可以更大一些，比我们随便乱出来这个赢的概率要大一些，那这就是一个很好的数学问题，他虽然不一定能够自己给出一个答案，但它会促进他去思考，这就是一种很好的一种，不是说通过看书才叫自学数学。你愿意自己去思考这些数学问题，然后自己去表述你的观点，尽管这个时候也不一定能够形成一个正确的答案，但是你这种思考的过程其实也是一种在自学数学的一种过程。

林瀚老师：小学阶段是非常非常重要的，你一定要让小孩子养成这种思考的习惯，养成他这种提问的习惯，这个我觉得培养出来了之后，你以后去自学数学的，我觉得很多事情实际上是比较水到渠成的。然后你慢慢到初中、高中，我觉得这个自学数学很重要的，家长可能会想说我小孩有这个自学数学的能力就不用把她送到校外的机构去学习，可能出于这样的目的，但是我觉得培养好自学数学的能力，他带来的好处远远不止于此的。

林瀚老师：自学数学相对于听老师讲课或者去外面的机构学习，其实它有一些不可替代的好处，我希望我们家长不要说我小孩自己在课内已经学了好多数学，然后在课外也给他报了很多数学的班，然后就觉得这个自学数学没有必要了，远远不是这样，我们自学数学的话相比于你去机构学习或者只是在课上听老师讲课，其实有很多好处的，比如说刚刚诗峰其实也有讲到一些方面，比如说你自学数学，你不需要太受这种外部的评价因素的干扰，就是说你一个问题，刚诗峰也讲到了，如果我是自学数学的话，那我可以一个问题我想不明白，那我可以暂时把它放着。

林瀚老师：你如果在机构或在学校那里可能为了要跟上老师的进度，或者是说你这个问题我搞不懂，那你可能会受老师的批评或者怎样或者你考试你都考的成绩差，这个时候你就没有办法把它放下来，但是我们如果自学的话，我可以给自己留有充足的时间去思考，这个时候实际上这种思考可以让你真正去享受到这种数学学习的乐趣的，一个问题我们思考的时间越长等到你哪一天突然间想明白了突然间顿悟了，这个时候你给你带来的这种快乐跟你之前的这种思考，时间其实是成正比的，这个远远比一个什么考试考100分这个带来的乐趣，可能是会更大更持久的，这些事只有你在自己在自学数学的时候你才有机会去体验到。

林瀚老师：你在学校学数学或者在在机构里面学数学的话，你自己学不会老师都替你着急，然后你的父母看你这个东西就是学不会可能也替你着急，所以我们作为父母的话，我们看到小孩有些问题学不明白没有关系的，只要他愿意去思考这个事情比任何都重要。然后你自学数学还有很多其它方面的好处，比如说讲到我大学，我在大学我教计算机，计算机要学很多数学，因为我们在大学里面我们经常会有研究生入学的面试，或者平时跟自己的学生讨论问题，我就发现很多问题在数学上觉得比较重要，因为在考试里面不太容易考得到，因为考试你可能考一些比较客观标准的答案，比如选择题这些,这些容易改嘛，或者是计算题，然后就难改的就是证明题，但这些也会出一些。

林瀚老师：但是有一些数学上的问题，他实际上不太适合出成一个笔试的的题目，但是我们对他面试的时候或者在平时跟学生讨论的时候的问题，因为我觉得这个对一个人数学素养其实是蛮重要的，比如说我们会经常问，比如说这个矩阵乘法，为什么要做这样一个定义。我就问一个数学概念为什么要这样去定义，这个在在平时的这个数学考试里面其实是很难考到的，所以这些只能靠你自己平时在学数学的时候你多去思考它，然后我们还会问你，比如说这个拉格朗日定理为什么很重要，有人问你说为什么这个定理很重要或者问你说这个定理A跟定理B你觉得哪个更重要一点，让你来给出这个理由。这个对数学素养也是很重要的，因为这属于一种数学审美。

林瀚老师：你在做研究的时候你要知道哪个方向是比较重要的，研究哪些问题是比较重要，哪些问题是不太重要，对于你这种一个数学素养的提高的话也很重要，但这些很多时候都只能在你自学的过程当中去思考。你在课堂上或者在机构上去学习的话，你可能很多时候就只是满足于去刷题去考试，但这些的话是刷题考试这些是没有办法给你带来的。我大概要分享的就这些了，接下来就由家长来提问。

主持人：感谢陈诗峰老师和林瀚老师的精彩分享。陈老师暑假将在图灵夏令营开设数学思维拓展课程，如果感兴趣的朋友可以了解一下。

图灵教育2019年暑假数学、编程课程招生简章

主持人：下面是交流分享时间，欢迎朋友们在评论区提问，陈老师会解答大家的问题。陈老师可以选取评论区问题上墙提到公屏，然后进行解答。

观众 佳：老师能否介绍一些经典著作？具体书名、版本、出版社之类的信息。谢谢！

陈诗峰老师：代数方面我推荐哈代的《大代数》。几何方面我推荐一本书 《近代欧几里德几何》。

观众 ya_ya：英文教材有推荐的吗？

陈诗峰老师：Proofs from the Book。就是一本经典定理证明介绍书籍。

林瀚老师：Elements of Set Theory

观众 逸：请问自学新内容遇到难题的时候，是自己把难题憋出来，还是先看看答案。

陈诗峰老师：允许自己有些题目不懂，只要经过深度独立思考还是不懂就先放一放，也不急着看答案。

观众 佳：如果家长的数学程度有限，如何引导孩子坚持自学下去？因为孩子遇到难的问题，有时候可能怎么都想不出来，让他搁置、慢慢想，也许想着想着就会成一空想，从而丧失自学的兴趣和热情。

陈诗峰老师：自学之后最好到社区看看或者参与讨论。

林瀚老师：让小孩自己选择看不看答案，如果他不看自己想，就给他鼓励。

陈诗峰老师：国外社区有aops，mathexchange等。

陈诗峰老师：想不出答案、还可以让他猜想。这样可以培养直觉能力和洞察力。

陈诗峰老师：国内好像比较少一些，多以不同主题的贴吧存在。

陈诗峰老师：国外还有一个欧拉计划社区，是数学和计算机编程结合的社区。

林瀚老师：国内好的社区较少，知乎还可以。

陈诗峰老师：有一些数学公众号会组织学习群。

陈诗峰老师：国外的warlfram社区也是很专业的。

林瀚老师：有强烈的好奇心的话，英文障碍不是问题。

观众 ♋佳佳Jackie：老师，请问能对小学阶段的数学思维培养给点意见吗？谢谢！

林瀚老师：小学一二年级就是培养提出问题和思考问题的习惯。

林瀚老师：鼓励孩子多开脑洞。

观众 Jenny：感觉推荐的书都好专业，想知道入门的兴趣培养的书可否推荐？小学二年级。

林瀚老师：华罗庚等的数学小丛书。

观众 佳：孩子跟着可汗学院自学，请问陈老师觉得这是一种好的方法么？

陈诗峰老师：跟可汗学入门是不错的。但是提高就不足够。

观众 佳：明白了。也就是说在学习基础知识的基础上，下一步数学能力和素养的提高和迁跃就还是需要在经典中去汲取养分。

观众 春天的笑脸：能推荐下初中和高中的自学教材吗？

陈诗峰老师：初中还是我推荐的2本书，哈代的《大代数》 和美国几何学家写的 《近代欧几里德几何》。另外推荐学一本华罗庚写的初等函数论。

陈诗峰老师：高中可以自学任何一本ZFC公理集合论入门。把数理逻辑的基础打好。然后可以开始涉足微积分学。在自学完高中解析几何的二次曲线部分内容之后，可以自学线性代数。

陈诗峰老师：好的教材很多。最经典是rudin的introduction to analysis。

陈诗峰老师：当然还有普林斯顿的微积分读本也很不错，重概念。教材多如牛毛。读通需要时间和耐性。

观众 佳：ZFC公理是什么。

陈诗峰老师：ZF是2个数学家名字的第一个字母，他们开创了公理集合论，C是Choice，选择公理的缩写。

观众 ya_ya：数学书一般都比较枯燥，如果单独给孩子看还是比较难看透的，这种情况怎么办。

林瀚老师：一般喜欢思考问题的孩子是不容易觉得数学书枯燥的。

观众 Frank：《高观点下的初等数学》这本书如何？

陈诗峰老师：高观点下的初等数学是学高等数学比较深入之后看的书。

观众 ya_ya：想问下诗峰老师，小升初的孩子自学的书有推荐？

陈诗峰老师：小升初的孩子可以自学一下平面几何。

观众 Frank：小学生不爱学数学，怎么办？

林瀚老师：要分析不爱数学的原因。

林瀚老师：小学不喜欢数学是正常现象，因为小学课内数学过于重视机械的计算。

观众 ya_ya：孩子看数学书如看故事书样快，是不是没有思考的在看？

陈诗峰老师：看书快有可能是天才，要看输出，看完之后说了什么写了什么。

观众 无学：刚进入高一，数学成绩惨不忍睹怎么办。

林瀚老师：这是要多给孩子鼓励，不要因为小学数学成绩不好而否定他。

陈诗峰老师：是初中数学成绩很好？高一惨不忍睹？

林瀚老师：高一数学成绩差同样要分析原因，不能一概而论。

观众 无学：是的。

陈诗峰老师：那建议学一点数理逻辑基础知识，原因是代数上使用数理逻辑语言，特别是集合和函数的言语不适应造成。

图灵教育：感谢陈诗峰老师和林瀚老师的精彩分享。陈老师暑假将在图灵夏令营开设数学思维拓展课程，如果感兴趣的朋友可以了解一下。图灵夏令营介绍。

点击查看>>图灵教育2019年暑假数学、编程课程招生简章

主持人：由于时间有限，可能不能解答所有朋友的问题。不过没关系，陈老师还会在微信群继续解答大家的问题。还有没进群的可以加图灵课程助理的微信。微信号18122738335

主持人：本次讲座到此结束，感谢陈诗峰老师的分享，感谢各位朋友的参与，希望通过这个讲座能给你们提供有用的资讯和帮助，谢谢大家！欢迎大家关注我们图灵编程的荔枝微课直播间和公众号，后续我们将会有其他关于青少年教育，关于编程，关于逻辑，关于数学等讲座，欢迎大家继续参加！

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这不是数学培优班,

这不是奥数培训班，

这是专为普通学生开设的

数学思维拓展课程！

这不是常规的数学补习班，也不是奥赛培训班，这是图灵编程专为普通学生开设的数学思维拓展课程。

课程介绍

课程目的

不是为了数学竞赛备赛，而是帮助普通学生，系统的梳理数学知识，成体系的去建构数学知识框架，使得在接触更艰深的知识之前，打下一个坚实的基础。

适用对象

适用年龄只是以普通学校一般数学学业水平作为一个参考区间，同时附有初级组和中级组的授课大纲，请学生和家长根据自己所能接受的知识范围，选择合适的组别。

图灵2019年暑假班时间表

— 课程安排 —

夏令营时间

1期(夏令营)：2019.7.21～7.28

2期(夏令营)：2019.7.30～8.6

3期(走读)：2019.8.11～8.23

夏令营地点：广州亚加达国际预科学校 （或同等食宿标准营地）

广州地铁四号线“广隆站”C出口，往东前行200米。

走读班地点：尚德/中大（教学点）

点击下方获取课程大纲

☞数学思维拓展（初级组）

适用人群：9-12岁（校内数学成绩正常水平的学生即可报读）

☞数学思维拓展（中级组）

适用人群：9-12岁（校内数学成绩正常水平的学生即可报读）

暑假班直通车：

☞：C++语言夏令营及暑假班

☞：数学思维数学思维拓展班

名

师

介

绍

陈诗峰

数学思维课程制作人

1999年毕业于中山大学计算机系，现就职于暨南大学大数据研究院担任首席架构师。

兼任广东省初等数学学会数学文化委员会主任。

一直热心于在中小学生中推广数学哲学、文化和科普等。目前主要研究方向是超大规模图上的并行算法。

吴育清

数学思维课程讲师（初级组）

毕业于华南师范大学化学教育专业。

专注小学数学教育，14年教龄。

擅长引导学生形成良好的学习习惯，思维习惯，让学生学会自我管理

2006-2014年

培训学生备赛小学希望杯、华杯赛，辅导各小升初大小联盟考试

2014-2019年 以图灵教育的数学思维拓展课程体系为大纲，重新整理和学习小学、中学、大学数学的知识脉络，创建独具特色的混龄教学方式，适合三到六年级学生重建和开发数学思维，得到了众多家长和学生的认可。

报名详情

封闭式夏令营：

课程：数学思维拓展（初级组）

年龄范围：9-12岁（校内数学成绩正常水平的学生即可报读）

学费：4500元 （包含保险）

食宿费：1500元 （代营地收取）

课程：数学思维拓展（中级组）

年龄范围：13岁或以上（校内数学成绩正常水平的学生即可报读）

学费：4500元 （包含保险）

食宿费：1500元 （代营地收取）

费用包含：

课程期间食宿费/课程学费/教材费资料费/旅游意外保险

费用不含：

个人生活用品/前往集合地交通费

走读班：

课程：数学思维拓展（初级组）

年龄范围：9-12岁（校内数学成绩正常水平的学生即可报读）

学费：4500元

2019暑假其他课程（咨询课程助理）

☞：python语言夏令营及暑假班

☞：数学思维数学思维拓展班

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